樂不樂透 心裡有「數」？

以下純粹是數學上的理論。

樂透的數學模型很多數學家都研究過，而且在數學理論（組合設計）上是一個極困難的問題。

現行的樂透是（42，6，6，3）的系統（42個號碼，開6個，選6個，對中3個以上有獎）。
所以共有C（42，6）=5245786種可能的簽注方式。
每一種都買要花5245786*50=兩億六千兩百多萬元。
因此如果頭獎超過兩億七千萬，那就全買吧。

但是我們可以看到樂透的遊戲規則最高獎金只累積到兩億五千萬（知道為什麼不繼續累計了吧）！

任一張彩卷中頭獎（六個號碼全中）的機率是1/5245786=0.00000019063……。

這實在是太小太小了。
有人說比被閃電打到的機率還小，實不為過。
對中五個號碼的機率約0.00004；只對中四個號碼約0.0018；只對中三個號碼約0.027；只對中兩個號碼約0.168；對中一個號碼約0.43；六個號碼全不中約0.37。這裡可以看到一個奇妙的現象：六個號碼都不中反而比中一個號碼困難。

如果只買一張，那亂選號碼就好了，在數學上中獎機率都是一樣的，和選什麼號碼無關。

但是有趣的是，通常簽注的人都不會只買一張。
正常的直覺是買愈多，讓號碼分散比較容易中獎。
但樂透難就難在要在同一張上對中三個號碼才有獎。
所以即使買七張把所有的號碼都選了，仍然可能什麼都沒有。

問題來了，買很多張樂透，有沒有一種簽號碼的方法，使得不管怎麼開獎都保證可以中獎？

有。

數學家已經證明，在（42，6，6，3）的系統之中，只要買123張，適當地選號碼，就保證至少可以對中3個號碼。

當然，這個「適當地」選就大有學問，數學家也設計出來了（可參考組合設計理論）。

但請注意，保證中獎不是保證賺錢。比如對發票一樣：如果發票連號夠多張，那一定會中普獎。

但連續在一台收銀機上買很多東西拿到連號的發票雖然可以中獎，但是投資通常遠超過報酬。
同理，適當地買123張樂透花6150元，只保證回收200元，顯然是不經濟的。

以上如果加入特別號碼的因素後更複雜，已是學術論文水平的問題了。

但無論如何，樂透原本的設計會使得所有簽注金額的45%-60%當作彩金，其餘為發行單位的收入。

因此注定絕大多數的人都得不到獎，而發行單位是穩賺不賠。
但別忘了這是公益彩券呢！
所以發行單位收入多多也是好的。

反過來說，在努力工作正常生活的前提下，用五十元買一個千萬富翁的希望未嘗不可，況且從某個角度來看這樣的期待其實是很迷人的。只是，記得湊123個人一起買，這樣至少保證可以中200元。

這星期以來，尋找明牌的瘋狂和亂象隱隱湧現，包括部份媒體都投入並宣揚穿鑿附會的怪異理論，實非好事。

數學不只告訴我們有根據的科學數據，也告訴我們腳踏實地比較實際。

（作者為建國中學數理資優班數學教師）